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eΠ等无理数的有理逼近问题

作者2021-06-10 21:10未知

摘  要

是人们不断研究探讨的两个特殊的无理数,本文将这两个数结合在一起对其的有关性质进行了分析讨论,讨论了的无理性。根据实数的完备性可以知道无理数是可以用有理数的极限逼近表示的。进而用傅里叶级数展开和夹逼定理等方法,研究一些有理数列的极限,探讨有关用有理数列极限逼近的问题。相关的逼近问题研究结果可以推广到其他一些无理数用有理数列极限逼近问题,加深此类特殊无理数有深刻的理解和熟练的应用,也同时可以帮助在一些有理数列极限的证明方面获得更多思路。
关键字  无理数  有理逼近  极限

Abstract

and  are two special irrational numbers that have been studied and discussed continuously for many years. This paper analyzes and discusses the properties of and  including their irrationality. According to the completeness of the real numbers, we know that irrational numbers can be represented by the limit approximation of rational numbers. We can use the Fourier series expansion, Squeeze theorem and other methods to study the limit of some rational number sequences and discuss the problem of using the limit of rational number sequences to approximate  and . The results of the approximation problem research on and can be extended to some other problems of using the limit of rational number sequences to approximate irrational number, which can deepen our understanding and application of special irrational numbers such as  and also  help ourselves generate more ideas on proving the limit of rational number sequences at the same time.
Key wordsirrational, rational approximation, limit

目    录
摘  要 2
Abstract 2
1 引言 4
1.1 研究背景及意义 4
1.2 研究的思路 5
2 无理数的有理数逼近 6
2.1 有理数逼近无理数的相关证明 6
2.2 的定义 6
2.3 证明是无理数 7
2.4 的定义 8
2.5 证明是无理数 8
3 的一些有理数逼近及其证明 9
3.1 的有理逼近 9
3.2收敛到的有理数列 14
4 逼近的数列的收敛速度 15
5 其他一些无理数的有理逼近 17
结  论 21
参考文献 22
致  谢 23
 
 
 
                                                               

引言

1.1 研究背景及意义
 这两个数对我们来说熟悉而又陌生,是我们最早认识的无理数早在小学有了初步的了解,则是被广泛使用的无理数与我们生活中的方方面面都息息相关。在高等数学中也是人们研究的重要对象,有理逼近问题也是在函数逼近论中的较为重要的一个课题,而我们用这样的特殊的无理数来研究有理逼近问题,能够帮助我们更好的理解。
是数学中最为人所知的数,与自然界的其他常数对比,总是那个最显眼最特立独行的那一个。或者pi,是圆的周长和它直径的比值。它的值,即这两个长度之间的比值,与圆的大小无关。无论圆是大是小,的值都是恒定不变的。的发展史要追溯到公元前1600年,至今已有数千年的历史,其中许许多多的数学家在的发展中留下了自己的名字。我古代就有刘微,祖之冲等在对研究方面有着巨大成就的数学家,到了近代,在兰伯特证明了是不可分数后,德国数学家林德曼在1882年解决了有关关于的悬而不决的问题。他证明了是超越的,即不可能是代数方程的解,通过解决这个千古之谜,林德曼证明了化圆为方是不可能得到的。而相对于他的唯一竞争者来说,就像是初来乍到的。由于其可追溯到巴比伦时期的辉煌历史而显得更具威严,而没有什么值得称道的历史为其添彩。常数是年轻而充满生机的,当涉及增长时,他就会出现。无论人口、金钱或者其他的自然数量,他们的增长总会不可避免的涉及到。然而,的故事真正开始于某种17世纪的电子商务。当时,瑞士的数学家雅各布·伯努利开始研究复利问题时最先发现常数的存在。,之后数学家对研究陷入了狂热,1737年欧拉证明了是无理数。1840年,法国数学家刘维尔证明了不是任何二次方程的解,而且直到33年后也是来自法国的数学家埃尔米特完成了是超越的证明,而且之后林德曼是沿用埃尔米特的方法证明了是超越数的。
的关系也令数学家们着迷。的值是非常接近的,我们可以用计算器算一下,它们的近似值为23.14069,22.15916。数字正是我们所知的盖尔范德常数,并且已经被证明了是超越的。但是我们对于知之甚少,话没有人证明它是无理数。提到的关系那不得不提这一个将0、1、都涉及到的等式了,这是由欧拉发现的最接近完美的数学公式。
自然对数和圆周率的研究也吸引着我国的许多数学家,他们的大多数研究成就都集中在实际的应用领域,由于研究的相对独立,导致研究成果各不相同,尤其是在新兴的计算机领域,为其发展添上了浓墨重彩的一笔。
同时在概率问题方面也有着诸多应用,用于描述小概率事件的泊松分布,在统计学中,涉及到了正态分布的钟形曲线,在工程学中,悬索桥缆索的曲线就是与有关,还有詹姆斯·斯特林利用等到了一个对阶乘的著名近似,  正因为数学家广阔的研究领域,才使得能深入我们的身边,让数学推动科学的发展。
1.2 研究的思路
首先阅读相关文献资料,了解的相关定义、性质以及其级数展开的方法,根据些条件证明是无理数,我们知道任意的有理序列都可以逼近一个无理数,也就是我们只要找到一些极限是的有理数列,之后通过用傅里叶级数展开,夹逼定理等方法对一些有理数列的极限的证明,这样我们就可得到或者可以用有理数列逼近。用同样的方法,我们也可以得到其他无理数用有理数列逼近的一些例子。
预备知识1:构造一个很有用的函数,证明这个函数满足如下三个性质:
(性质I)是一个形如的多项式,且系数 全部都是整数.
(性质II)时,0< .
(性质III)对于所有的整数 阶导数在0和1处的值必为整数,也即都是整数。
性质I)和(性质II)是显然成立的。下面证明(性质III)。
根据(性质I),是一个从次幂项到次幂项的项和。因此,当时, 为0,当然是整数;当时, 恒为0, 当然也是整数。
而当 根据(性质I)的多项式对阶导,得到  ,由于 为整数且,所以这个数必然是整数,因此 必为整数。另外,注意到这个函数有一个明显的对称性,就是 ,从而对这个式子两边同时求. 阶导数,得到从而。于是,既然 为整数,那么 当然也是整数。于是(性质III)成立。
预备知识2  若=0,若=B,其中A,B均为有限数,则若=.
     证明:  =0,所以任意的0存在N,当nN时有0;此时令=
 = ,
     所以 =  ; = = = .
     由归结原则,易得推论: 若=A0,若=B,其中A、B为有限数,
     则 =.
 

无理数的有理数逼近

2.1 有理数逼近无理数的相关证明
证明:对固定的正整数,让取遍所有的整数,那么这些数把数轴分成一些长度为的区间。每一个实数位于这些区间中的一个区间,这就是说,对于任意固定的实数,一定可以找出一个整数,使得
.
这个不等式等价于
.
由此可得
.
上面这个不等式表明:每个实数都可以用有理数取逼近到任意精确值,由于无理数是实数的真子集,所以我们可以知道无理数同样可以用有理数来逼近。 
2.2 的定义
证明:=
证明:0(=1,2,…),则

设其中===…=1+=1,则
((-1)(1+)+1),

≤1+,
所以,即递增。设其中===…=1+=1,
同理可证{}递增。
又有
=1-<1,
则1+,所以又因为{}递增,所以递减,从而=4,进而有<4,所以{}有界。
故{}收敛,

=.
2.3 证明是无理数
证明:运用反证法.假设是有理数,则可以表示成,其中为正整数。设 由
0<
.
是整数。
0<=+++…
+++…=≤1
是小于1的正数。但是0和1之间不存在有理数,所以之前的假设矛盾,所以是无理数。
2.4 的定义
一般定义:把圆的周长()与他直径()之比称为圆周率,并用希腊字母π来表示。
由相似图形可知,对于任何圆形的值都是一样的,这样就定义出常数π。
分析上定义: .
用幂级数定义三角函数,将三角函数定义在复数上,接着就能定义π。
2.5 证明是无理数
证明: π 不像  ,性质不是那么优良。我们知道 的导数还是自身,而 π 就不行了。正是因为这样,证明 π 是无理数相对来说比  要麻烦一些。根据预备知识2只需证明是无理数(这因为从的无理性就得到的无理性,因为否则是有理数, 作为有理数的乘积也是有理数),下面用反证法 证明正是无理数。
假设 是有理数,设 =,这里a和b都是正整数。利用函数构造一个新的函数如下
 = -+…++…),
这个是按照的偶数阶导数进行求和的,因此,其二阶导数满足如下
=- ++
接下来可以用函数的求导性质,构造如下微分等式,
-
                  =++
=+
=+.
于是
=
    =-
=+.
由于 b,是整数根据预备知识2性质III,的任意阶导数在0和1处的值都是整数,故P(1)和P(0)都是整数。因此,L应为整数。但是根据预备知识2性质II,
0=
      =
   =.
若当取足够大的,使得 ,得到0<L<1,与L为整数矛盾,所以只能为无理数,故为有理数。

一些有理数逼近及其证明

3.1 的有理逼近
3.1.1证明=.
证明:根据分析我们可先将其变化成
=
先证
=.
证法1: 对,有
=1++≤1++
所以
,
+,则=0,且
==,
因此
===,
再由
=,
及夹逼定理就有
==,
两边平方可得
=.
 
 
证法2  因为k≤n时,有

所以,从而

同理


于是由
=
 
==
根据夹逼定理得到
=
==
两边平方可得
=.
 
证法3  由不等式
==


又因为

==   (),
=
=
=
根据夹逼定理有

在利用一次夹逼定理就得

从而== ,即=.
两边平方可得
=.
3.1.2,证明=
证明:证法1  由=,知
=
==
 =
           =).
同理可得
=+…).
于是
-=
                     =)=.
因此
===.
证法2  令=,则有
=
=
                =
       = 
  =
==.
因此
=.
3.1.3证明(1)=
          (2),其中();
         (3) =,其中().
证明:  (1)左式===,则令=
=,
则将分别取极限得到,
=e,=1,
预备定理2可知,左式==,故可得成立。
(2)利用重要极限我们可以将左式变形成,左式=,接着令=
=,
则将分别取极限得到,
=e,=1,
预备定理2可知,左式 ==,故可得,其中()成立。
(3)式进行相关化解变形可得,原式=,此时我们可以令
=
 =
接着我们将分别取极限可以得到,
=e,=1,
预备定理2可知,左式 ==,故可得中()成立。
3.2收敛到的有理数列
3.2.1证明    (1)= ;
             (2)  =.
证明: 展开成傅里叶级数由于函数及其延拓后的图像显然是分段光滑的,故可展开为傅里叶级数。
==+=0;
             ==+=0;
          ==+
=-
  =.
所以当时,
=.
(1)此时当有,
==
即有=.
(2)由==可知
=,
=+=+(
                       =,
即有=.

逼近的数列的收敛速度

3.3.1  数列收敛于的速度
证明:由泰勒展开式=可得
=
                    =
             =.
===
3.3.2  数列收敛于的速度
证明:由=可知
-=++++…,
而    
++++…

==
又显然-故,

由夹逼定理可得,
.
通过收敛速度的对比,我们可以发现收敛到速度远远大于收敛到速度。
3.3.3  数列收敛到的速度
证明:  我们知道这个无穷级数收敛太慢了,我们可以利用Mathematica计算它前十项的近似结果并保留小数点后25位,3.0418396189402211135957。从而提高这个数列的收敛速度成为人们努力的方向。
利用可以导出以下几个级数








通过计算机对这8个级数的验证,计算相同的位数时,这个级数的运算时间最短,,展开的项数最少,也就是收敛速度最快的。
 

其他一些无理数的有理逼近

4.1  证明 .
证明: 证法1 结合单位根和复数的相关性质,考虑次单位根=+i=1,2,3,….令=,则00,=1,2,3,….那么根据单位根的定义得到
1=
    =
           =
               = 
                       .
根据复数的相等条件,虚数部为0,则

两边同时约去一个



在上式两端同时除以,则有

这表示 (k=1,…,n)是方程

的n个根,根据韦达定理有,

从而有
,  
由于在(0,)上有,故有 .因此,
根据定义式= 及可以得到

即有

对于取极限,再利用夹逼定理,可得
.
证法2  运用傅里叶级数的展开式证明,此方法的关键是可积函数的构造及区间的选择,下面通过几个可积函数的傅里叶展开式来推出.
(1)取=,
====;
===;
===0.
=上处处可导,=,根据收敛定理有
=.
,令可得.
(2)取=,在上展开傅里叶级数
==
            ===
                          =0                           
于是=+4,令
.
证法3  利用帕塞瓦尔等式
 若上满足收敛定理,则成立帕塞瓦尔等式
=+,
其中的傅里叶系数。如果计算出的傅里叶系数或者为含有的式子,可使中出现,此时可利用等式左端积分求解出.
 设=,显然光滑,满足收敛定理,可展开成傅里叶级数,
 由于是奇函数,所以
          =0
=
                 =+
                      ==.
由帕塞瓦尔等式可知
=,

===.
求级数和的问题是瑞士数学家伯努利在18世纪20年代首先提出的,但他未能解决,欧拉将三角函数方程与代数方程进行大胆类比,猜测出结果应该是,后来人们用傅里叶级数的理论证明了欧拉的猜测,上述就是这问题相关的证明。
4.2  证明 =
证明:令函数 ,由于函数及其延拓后的图像,显然是分段光滑的,及可展开为傅里叶级数。
==+=0;
       ==+=0;
          ==+=-  =
所以当时,
=
根据帕塞瓦尔等式可知
=.
即有
=.
4.3  证明= 
证明: 取=,在上展开傅里叶级数
==
  ===
                      =0                                  .
于是
=+4.
根据帕塞瓦尔等式可知
=+

=.

   

我们知道有理数在实数中稠密的,所以任意的无理数都可以用有理数列来逼近,作为无理数必定存在逼近它的有理数列,也就是一些有理数列的极限为,我们一般常见的极限为的有理数列大多是通过过重要极限=变形而来,上面列举的这几个有理数列极限形式较为复杂,不太能够用重要极限给予证明,这就需要我们通过夹逼定理构造数列极限,这则需要大量的经验积累,也可以通知过利用泰勒公式或洛必达法则等,本文用多种方法证明极限它们之间往往有着一些联系,在我们求极限时选择一种好的方法往往会事半功倍。而且关于逼近的有理数数列,我们通过构建傅里叶级数展开来和用其方法证明对比能明显的发现傅里叶级数展开快捷简明,用傅里叶级数的前提是能构造可积函数和区间的选择,这也是需要经验积累的。通过对一些收敛到的数列进行对比分析,得到了一些有关收敛速度的结论,为精确计算提供了帮助。最后推广其他无理数的有理逼近,本文以这一系列的无理数为例进行的证明,主要也是运用傅里叶级数的展开来解决的,这一系列的问题还能运用到级数求和的相关题目上,在这里就不加以多说了。
                      

参考文献

[1] 华东师法大学数学系.数学分析[M].4版高等教育出版社,2010.7.
[2] 徐森林,薛春华.数学分析精选习题全解[M]清华大学出版社,2009
[3] 常庚哲,史济怀.数学分析教程[M].高等教育出版社,2003
[4] 周民强.数学分析习题演练[M].科学出版社,2006
[5] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]高等教育出版社,2006
[6] 周颂平,虞旦盛.有理逼近的一些最新进展[J].数学进展,2003(142)
[7] 刘三阳,于力,李广明.数学分析选讲[M]科学出版社,2007
[8] 童增祥,张肇炽.欧拉等式的一个证法[J]高等数学研究,2008(09)
[9] 高明俊.是无理数的一个统一证法[J].安康师专学报,1994 (06)
[10] 王莉,于秀源 .关于有理逼近的注记[J].杭州师范学院学报,2008.1(11)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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