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“数学模型”应用与小学数学教学现状的调查研究

作者2021-06-11 12:22未知

 
摘要 模型思想是一种运用数学模型解决问题的方法。随着科学发展,数学模型的运用也越来越广泛,课标中也有模型思想的阐述。笔者此次希望通过调查发现数学模型使用与教学方法不能有效相容的原因。笔者基于了对模型思想和数学模型的理解,结合了苏教版小学数学课本材,从四个领域对教材中直接或者间接体现的数学模型模型进行了整理。之后用问卷法对小学数学的教学现状进行了调查,并对一些教师进行访谈,获得他们对模型思想的看法和建议。结合案例教学分析,寻找原因。笔者发现,模型思想运用存在的主要问题成因是教师对于模型思想的理解有所欠缺, 缺乏教学模型思想的经验,学生和教师的精力有限没有多余精力去研究这三个方面。最后由此提出了四条针对性的策略:了解学情,选择教法,对于不同年龄段选择不同的方法引导帮助学生建模;渗透思想,重现过程,让学生经历前人探索发现知识的过程,感受数学模型建立的方式;增强意识,锻炼思维,提高学生的应用意识并且提升思维创新能力;实践训练,拓展模型,在实际问题中使用模型思想,对模型进行变式训练,及时跟新模型的内涵和结构。
关键词  模型思想  数学模型  数形结合
 
The application of "mathematical model" and the investigation of the present situation of mathematics teaching in primary schools
 
Abstract  The idea of model is a method of using mathematical models to solve problems. With the development of science, the application of mathematical models has become more and more extensive. This time, the author hopes to find out the reasons why the use of mathematical models and teaching methods are not effectively compatible. Based on the understanding of the model ideas and mathematical models, the author combined the elementary school mathematics textbook materials published in jiangsu teaching edition and sorted out the mathematical models directly or indirectly reflected in the textbooks from four fields. After that, the current situation of mathematics teaching in primary schools was investigated by means of questionnaire, and some teachers were interviewed to get their opinions and Suggestions on model ideas. Combine the case teaching analysis, look for the reason. The author finds that the main causes of the problems in the application of model thinking are the lack of teachers' understanding of model thinking, the lack of experience in teaching model thinking, and the limited energy of students and teachers to study these three aspects. Finally, four targeted strategies were proposed: to understand the learning situation, to choose the teaching method, to choose different methods for different age groups to guide and help students model; Permeate the thought and reproduce the process, let the students experience the process of predecessors' exploration and discovery of knowledge, feel the way of mathematical model establishment; Enhance the consciousness, exercise the thinking, improve the students' application consciousness and enhance the thinking innovation ability; Practice training, expand the model, use the model idea in practical problems, carry out variant training on the model, and follow the connotation and structure of the new model in time.
Key words  Mathematical models  Model idea  Several form combining
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
目  录
引  言 1
一、问题的提出 1
二、研究的意义 1
三、研究思路及方法 2
第一章:文献综述 3
一、模型思想教学的作用研究 3
二、关于模型思想教学策略的研究 3
三、关于模型思想教学过程的研究 3
四、关于模型思想运用中存在问题的研究 4
五、现有研究的总结与评价 4
第二章:关于模型思想教学的相关概念的界定 6
一、模型思想的概念 6
二、应用数学模型的意义 6
三、模型相关概念的界定和小学教材中数学模型的整理 7
第三章:数据处理与分析 9
一、问卷法调查分析 9
(一) 教师基本情况 9
(二)教师对数学模型理解的情况分析 9
(三)对教师模型思想教学情况的分析 11
(四)运用中存在的问题调查 13
二、访谈法调查及分析 13
(一)教师对数学模型和模型思想的理解 14
(二)教师教学渗透模型思想的情况 14
(三)教师对模型思想教学的疑难和建议 14
三、案例研究法及分析 15
教学案例 15
案例分析 17
四、存在问题及成因分析 19
第四章:对策与建议 20
一、了解学情,选择教法 20
二、渗透思想,重现过程 21
三、增强意识,锻炼思维 21
四、实践训练,拓展模型 23
总结 24
参考文献 25
致谢 26
 
 

引  言

一、问题的提出

现在的我国科学技术发展的速度飞快,数学的实际运用和价值不仅广泛地体现在工业上,而且在自然科学的研究领域中也有着非常重要的作用和地位。数学模型的应用是数学的重要方法之一,相关的内容已经逐渐发展成为了其他学科领域的重要基础和组成部分。目前模型思想的研究已经逐渐渗入和发展到了教育事业当中。随着数学新课标的实施和使用,模型对数学思想的意义和重要性也被教育工作者所熟知,研究数学基础模型以及其思想的学者也越来越多。不少专家和学者一致认为培养和提高学生的模型知识和思想的能力应当从目前的中小学基础教育开始,逐步在目前的课堂教学中渗透模型的知识和思想,提高和培养学生的数学和建模的知识和能力,发展和培养学生在生活中学习和应用模型数学的能力和意识。
在"2011年版课程标准"中对模型数学思想的一个基本解释是,该内容的建立基础应当源自于学生对于人类社会生活的真实体验和对于数学与生活以及外界两者间的密切关联的认识和理解。课标进一步说明,建立和发展模型数学思想和模型的方法和过程主要包括了,从理论和现实生活的关系中抽象表现出来解决数学的问题,用系统的数学语言描述和表示数学问题等,寻找数学问题的正确答案,对于数学中这些问题的重要性和意义问题进行了讨论。通过系统地学习这些问题的内容,帮助中小学生快速形成模型和思想,提高他们对于数学的研究兴趣和对数学应用的意识。
本次研究中主要是为了解决数学教师在教学中忽视对学生模型思想的培养以及数学模型使用与教学方法不能有效相容的问题。

二、研究的意义

(一)在运用数学时,建模是一种新的学习思维方式,学生通过体验数学建模的过程可以使其获得一个自主、探究的数学思维空间;并且数学建模的过程能够有效帮助学生重新回顾和理解数学实际应用问题的基本构成和过程,发现数学解决实际应用问题过程中的作用,感受科学之间的联系。学生从这体会数学综合实践运用学过的理论知识和学习方法的过程来学习数学解决日常生活实际应用问题的方法和过程,可以有效增强和培养学生的对数学实际应用的意识,和数学的兴趣。培养学生的综合实践创新意识和思维、应用理论创新意识和综合实践应用能力的学习具有极其重要的作用和意义。(二)学生学习模型和思想的过程能够认识和发现各种数学的问题和理论知识与生活应用之间的密切联系,从而能够使得问题与知识相互地结合,形成特殊的数学模型,并且使用书本和数学的模型内容来分析和解决实际的问题。因此学校教师应进一步加强学生模型思想的引导和渗透,进而有可能地提高学生学习数学内容的活动效率和改善教师授课的教学质量,增加教师和学生内在的创造力和数学文化素养。(三)在教师和学生的思维角度来讲,建立合理的结构后,数学模型思想可以有效地作为师生解决实际数学问题的一种有效途径。通过应用模型实现数字、形状或者是几何的直观,在教师指导、数学的学习和活动的过程中,采用新颖的模型或者解决实际问题的方法和概念将极大地有助于教师和学生的理解和思维成长,提升其解决实际问题的方法准确性和解题的速度。对于学生和教师来说,数学相关内容和概念都具有鲜明的几何直观特征,容易通过数学图形直观地表现和展示出来。教师在课堂上用直观的数学模型操作与方法进行展示,能有效地促使学生结合并理解数学与图形的关系,充分利用教师和学生的创造性。

三、研究思路及方法

1、文献分析法
通过在知网上搜索与模型思想研究有关的资料和文献,阅读数学模型相关的期刊,充分深入了解以前所做的工作和研究,思考发展模型思想的当前研究的趋势和现状,找到研究的方向和切入点,并为本次的研究寻找了理论和实践参考。
2、问卷调查法
通过对学校小学数学老师的匿名问卷调查,调查了课堂中模型思想的概念,应用形式和渗透的现状;以及课后练习中模型思想的巩固,以了解小学数学教师对于数学模型的理解。
3、访谈法
与实习学校教师进行谈话,调查数学模型在渗透课堂的讲解过程中的重要性和运用、模型教学思想运用效果。问他们在课堂中是否有过用模型思想解决了一些数学难题的方法和经验,有没有更深入地了解如何找到用数学模型简化数学题、理解数学题目的好方法。
4、课堂观察法
借助实习机会,进入课堂,在学校中进行直接的观察,观察教师在课堂上对模型思想的教学渗透情况,观察学生在回答或解决问题时是否运用了数学模型,从而得知模型思想在小学数学的教学渗透是否成功。
5、案例分析法
通过对教师教学设计的分析,观看教学记录等方法,为典型教学案例的分析给予可靠依据。
 
 
 
 
 
 

第一章:文献综述

近些年来,伴随着我国新课程教学改革的逐渐地深化,小学数学模型思想教育已经开始受到重视和提倡。我对小学数学模型的思想教学在我国小学基础数学中如何应用展开研究,将其概括起来分为以下四个主要的方面。

一、模型思想教学的作用研究

张明在《模型思想在小学数学教学中的应用研究》提出:模型思想能够提高学生的创新意识和实践能力,培养学生提出和解决问题的能力[]。学生在学习思想和数学模型的过程中深刻地感受到了数学知识的逻辑性和应用价值,同时能够更好地让学生经历一个数学知识和结论的产生过程。马雪认为,学校开展建模活动能推动小学数学教育的改革与发展,并促进学生的全面发展。对于学生的思维和模型思想的培养和形成,不仅需要教师上课时间中的透彻地讲解,还需要引导学生借助实践的机会和时间学习,进一步引导学生内化这些结论和数学的模型。通过建立数学模型,学生利用一些原理和以往的学习经验可以推算出新的公式,掌握新的知识。教师通过渗透模型思想可以更好地帮助学生快速理解和正确掌握数学问题的各种解决途径和方法,反过来,学生灵活地运用和建立模型可以促进教师提高教学质量。

二、关于模型思想教学策略的研究

周立栋在《数学模型思想及其渗透教学》提出了:重视教学情境的创设,丰富数学建模活动和实践应用,采用多元化的评价形式[]。马雪在《模型思想在小学五年级数学教学中的应用现状及策略研究》提出:从情境、自主探索以及合作三方面进行教学[]。李其进认为,加强学生数学建模的能力,拓宽学生的思维深度,通过创设课堂情境,引领学生实践,积极合理地开发和利用社会教育资源。

三、关于模型思想教学过程的研究

李其进在《小学数学建模教学的起点、过程及应用策略》中提出:模型思想教学的过程中,学生经历从现实问题到直观模型,从直观模型到抽象模型,从抽象模型到自主建构的环节[]。许文德认为,模型形成过程的起点中包含模型思想引出的问题,提出假设,建立数学模型,模型的修改,应用模型拓展这5个基本内容。周立栋认为建模的过程有,提出实际问题、数学问题的模型化、运用模型求解、模型的变式与推广,这几个部分组成。

四、关于模型思想运用中存在问题的研究

孔凡哲在《有关模型思想若干问题的分析与解读》中说:有些教师对模型思想的认识不足[]。他们对于自身地数学模型思想不够十分重视,教育教学的过程中往往忽视了教师和学生的对数学模型思想、方法和对数学观念上的综合培养,导致了学生往往缺乏了应用的意识。某些教师只是片面地让学生完成了任务,但是这样却无法有效地帮助他们获得全面的认识和发展,因此最终程度上导致了学生对数学的综合应用能力比较差。许文德在《小学数学模型思想及培养策略研究》中指出:培养学生模型思想的方法单一[]。他认为一些数学教师只是向学生直接灌输了数学知识,不是很重视教育教学中对数学知识和能力的掌握与培养。有时候为了能够让学生快速准确记忆数学公式从而在数学模型解题中大量套用公式和对模型解题采取抄写等死记硬背的传统学习方式。虽然通过这类方式可以短暂地提高了教学的效率,却也会严重限制学生的对公式想象能力,反而降低了学生建模的能力和积极性。李其进觉得学生构建数学模型存在困难的原因是小学生是青少年和儿童,所以说小学生理解能力不强。其中很大一部分的数学模型和计算公式,小学生依靠自己努力是无法真正理解的,并且小学生认识模型所花费的时间较长,需要小学教师及时提供的支架和耐心的指导。否则小学生只会用模型和公式进行计算,却不知道模型和公式的基本意义,没有真正的建立成完整的数学模型,遇到稍复杂的变式问题就可能无法解决。刘勋达在《小学数学模型思想及培养策略研究》中指出了:多数学者研究的内容是教学经验的总结,相对而言欠缺理论指导[]。更多的教师喜欢以本研究为典型案例的进行教学过程中地经验总结,然而其研究的结果往往缺乏相对系统的课堂理论教学基础和规范的课堂操作教学方式的理论指导。因此很多相关研究文献的篇幅较短,问题在于研究结果不具备一般性,不少相关的研究文献注重的是对某一个课时、知识点的具体教学方法的深入研究。

五、现有研究的总结与评价

不同的教育学者从不同的角度提出正确地运用数学模式思想的方法和教学策略,但大致的重点仍然集中在教学方法、教学过程、教学评价、教学作用等方面。如何进行数学模型思想的教学,要从教材、过程以及学生三个方面的角度来呈现。第一,选择模型的表达方式,这种方法必需是要完全符合这个数学模型的基本特点,并且是能够被学生所接纳的;第二,教师应该帮助学生体会详细地建立数学模型的过程;第三,数学模型表教学方式首先应该是直观方式为主,例如数学图像等。每个人在相同学期表现出的思维状态是不同的,不同时期的学生的思维更是存在巨大差别;因此对于不同学生、学期的思维培养策略要有针对性。综合不同模型学者的看法和观点,学生模型思维的形成过程分为准备、假设、建构以及应用四个环节。构建地过程还包括了模型计算和求解、模型的分析、模型的检验这三个步骤。而应用环节不单只是解决问题,还包含了对已有模型结构地完善与拓展。对于数学模型概念和思想教学存在的这些问题主要原因是教师对于数学教材中有关数学概念和模型的理解和忽视,课堂教学中往往缺少了对模型概念和思想的理解和渗透,从而导致学生并没有真正的理解和掌握模型知识,难以真正做到模型的灵活运用;由于小学生的心理年龄发展跨度比较大,生理和心理年龄发展的特点和阶段不一样,教师在讲解数学模型时往往忽略了学生的实际学习的情况。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

第二章:关于模型思想教学的相关概念的界定

一、模型思想的概念

采用了科学的数学语言和方法进行概括而发展形成的一种具有一般化的、形式化的结构,这种结构则是数学模型[]。其中包含一些形式化的模型教学思想,比如说数感、符号感、数学的理论实际联系、数学知识的实际应用综合能力,思维方式等。这些形式化数学的模型和教学思想可以为数学课程提供实际操作的方式和教学途径,也使得教师可以很好地指导和支持这些目标的制定和实现。教师在教学中强调模型思想,能够增加教学的效果,从学生的角度来讲,这能够促进科学知识的理解和掌握。用特定的数学语言和方法表示的实际数学问题和模型的过程即称为数学的建模[],这是描述所建立的客观现实和之后解决实际数学问题的一个过程,也是一个完整而特殊的操作过程。学生能否成功进行独立的实际数学建模,之后如何运用思想到实际的问题当中,是学生掌握模型思想并且成功运用这个模型的重要的基础和标准。实际数学建模的方法和过程,通常被认为包括以下几个基本方面:从客观现实生活中发现并且提出数学问题,再把数学问题抽象出来建立数学的模型,运用已有的理论和数学知识对实际数学问题和模型进行尝试求解和进行解释,检验所建立的数学问题和模型的思想准确性,将所建立数学的模型进行变式并且进行推广。

二、应用数学模型的意义

模型教学思想其本身就是存在于我们的平常工作和生活当中,甚至就在我们身边,渗透到不同的课程内容的领域。建模是用一种数学方法用来研究实际生活中事件的一种发展基本方向和一般发展规律,数学的模型在生活中的运用的范围在多方面十分广泛,例如选择问题、方案的优化和选择以及试验方案的设计和制定等多种类型。例如,最值问题里一般是建立了函数的模型再解决。因为问题的方案优化选择问题的方案优化选择一般是比对多个函数的方案,之后选择最优方案。又比如,在估算与策略这一方面,通常也需要先调查问题,再建立模型,从而获得结果的范围。生活中对于某些经济问题的预算也采用的是数学模型,通过分析以往的情况,建立合适的数学模型,从而进行预测。数学模型的应用内容非常广泛,模型思想对于学生学习科学知识而言也有着超乎寻常的意义。
实现素质教育就需要特别重视学生的个性和自主创造思维能力的培养与发展。教学活动中巧妙地充分运用了数学的概念和模型,可以有效培养和提高小学生的综合应用思维能力和自主创新的意识。运用数学模型思想能够有效地让数学知识与实际社会生活知识之间更好地建立联系。构建合理的数学模型,而后处理复杂的数据、分析和简化复杂的问题,这是数学知识应用于实际的过程。学生可以实际地观察和体验到生活中数学知识的产生和实际运用,进而为学生进行数学知识的再造和重新探索以及应用提供了一个新的机会。通过让学生了解各种模型的建立方法,学生将对科学有更深入的认识和了解,进而提高自身的创造力与涵养。

三、模型相关概念的界定和小学教材中数学模型的整理

 
知识领域 知识点 应用举例
数与代数 数的表示 自然数列:0,1,2,3……
在数轴上表示数
数的运算 a+b=c
c-a=b,c-b=a
数的运算 a×b=c   
(a≠0,b≠0)
C÷a=b,c÷b=a
(a≠0,b≠0)
运算定律 加法交换律: a+b=b+a
加法结合律:a+b+c=a+(b+c)
乘法交换律: ab=ba
乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
乘法分配律:
a(b+c)=ab+ac
方程 ax+b=c
数量关系 时间、速度、路程:
S=vt
数量和、单价、总价:
W=nq
正比例关系:
y/x=k,y=kx
反比例关系:
xy=k,y=
用表格表述数量关系
用图像表示数量关系
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
知识领域 知识点 应用举例
图形与几何 用字母表示周长 长方形:C=2(a+b)
正方形:C=4a
圆周长:C=2Πr
用字母表示面积 长方形:S=ab
正方形:S=a²
三角形面积:S=ah
平行四边形面积:S=ah
梯形面积:S=(a+b)h
圆面积S=Πr²
用字母表示体积 长方形:V=abc
正方形V=a³
圆柱:V=Sh=Πr²h
圆锥:V=Sh=Πr²h
空间形式 用空间图形表示空间和平面结构
 
 
 
 
知识领域 知识点 应用举例
综合与实践 握手问题 人数n,每人握手一次,握手总数n=L+2+3+(n1)
服装配件搭配问题 成人上衣只穿m件,下装只穿n件,搭配的计算方式:n=m×n
抽屉原理 将m个元素放入n个抽屉,则在其中一个抽屉里至少会有
[(m-1)/n]+1个元素
鸡兔同笼问题 (总脚数-总头数×鸡的脚数)÷(兔的脚数-鸡的脚数)=兔的只数
植树问题 两端都植:
距离÷间隔长 +1=棵数
间隔长×(棵树-1 )=全长
只植一端:
距离÷间隔长=棵数
两端都不植:
距离÷间隔长-1=棵数
 
 
 
知识领域 知识点 应用举例
概率与统计 统计图和统计表 折线图
直方图
饼图
条形图
平均数
众数
中位数
 
 

第三章:数据处理与分析

一、问卷法调查分析

这一部分的内容是通过问卷调查的形式,来深入了解参与者的数学理论模型、模型设计思想的形成和使用实践情况,以及其中可能存在得的问题。本次问卷调查采取了线上的问卷调查。

(一) 教师基本情况

基本信息 人数:
性别 男11人   女32人
教龄
 
 
 
0~5年:6人
5~10年:8人
10~15年:12人
15~20年:10人
20年以上:7人
学历 专科16人  本科23人  研究生以上:4人
本次数据,符合目前小学教师的基本情况,有利于此次研究的开展。

(二)教师对数学模型理解的情况分析

1、对模型思想定义的理解的分析
 
(图1)
对数学模型思想定义的对象进行调查,结果如上图显示。其中大约有25.6%的数学教师是认为数学模型的思想本身就是具体的数学知识;这一部分的数学教师主要是将自己课表上的一些数学模型思考和课表上的知识掌握技能混乱了,从而把一些关于数学的模型与课表上的数学知识相结合产生混淆。16.3%的一部分数学教师是认为数学模型概念和思想的基本定义主要是一些关于几何图形的知识;认为数学的模型思想是从实际的问题中通过抽象构造出来的,而这些几何图形知识就是具体的数学教学内容,这部分的老师没有理清抽象的方法和具体事物的关系。约有16.3%的数学教师以为模型思想的实质是数学知识与几何图形结合的模型;这一部分的老师把数学模型作为是数学知识在具体事物中的应用,这只是模型思想的一小部分。大约有41.86%的数学教师觉得数学模型是针对特定数学问题抽象出的模型;这一部分老师是认真地研读了课标,并且理解了课标中关于模型思想地定义。
2、不同教龄的教师对模型思想的认识及了解渠道
 
             (图2)
相关
  教龄 数学模型内涵
教龄 皮尔森 (Pearson) 相关 1 -.427**
显著性(单尾)   .002
N 43 43
数学模型内涵 皮尔森 (Pearson) 相关 -.427** 1
显著性 (单尾) .002  
N 43 43
相关性在 0.01上显著(单尾)。
 
年轻教师在学生的时代曾经接触过的模型理念和思想,占了25.58%。大部分的教师都是通过自己的学习实践来了解和认识模型思想的,占据了39.53%。有一部分教师是在工作后参加了相关的培训来学习模型思想的,有20.93%。还有一小部分教师,约13.95%是由学校教师介绍模型思想,从而掌握的。数学教师的教龄与其对数学模型的理解和认识也是密切相关的。年龄大些的教师,比如15年以上教龄的数学教师的课堂教学理念和思想可能有些陈旧,没有及时的深入了解新课程的教学理念。或者可能是他们长期的从事课堂教学活动,已经在初步的形成了自己的课堂教学理论观念和特有的课堂教育实践经验;虽然这些都有利于其他教师进行更加适合自身的课堂教学,但不一定与现在的新课程和素质教育所需要提倡的课堂教学内容相符合。大部分拥有5到15年以上教龄的新课程数学老师,对于新课程的模型理念和思想的接触和系统学习比老教师要深入的更多一些,同时又因为有着一定的教龄,兼具了课堂教学的经验,是目前我国小学学校教师群体中教龄比例最高的。而大部分拥有5年以下数学教龄的新教师,对模型的理念和思想大都有过系统的接触和学习,因此对于新课程的数学理念和模型都比较深入的了解。
3、教师对教材模型的梳理情况
 
                         (图3)
统计的结果表示,只有13.95%的教师有过对数学教材中的模型进行系统的梳理。53.49%的教师没有深入的挖掘过教材的模型,大部分教师在备课过程中发现或者使用到数学模型时会注意到模型思想,但没有进行系统的整理。剩下约32.56%的教师没有对教材模型进行过整理。

(三)对教师模型思想教学情况的分析

1、模型思想的运用情况
 
             (图4)
通过结果可以发现,教师渗透模型思想主要是在新授课和习题课,分别占了39.53%和32.56%。新授课运用模型思想是为了让学生更好的掌握新内容,习题课则是对数学模型的使用和提高。复习课中运用模型思想的比率是18.60%,在这一种课型种使用并不普遍。讲评课也基本不会用到模型思想,只有9.30%的教师在这类课中使用过。
2、渗透模型思想的方式
 
               (图5)
教师主要是在新的授课中,创设与新相关数学内容和公式相关的数学问题和情境,让教师引导学生自己经历一个获得数学知识的重要过程,这一部分教师占据了55.81%。其中有27.91%的数学教师主要是通过在课中展示内容与新相关的数学图形,从而直接引出相应的数学结论和公式。这两种也是当下的新课改所提倡的教学方法。少部分教师的方法是由于学生自行总结并分析从而得到相应的数学结论和模型的,占了数学模型总体的11.63%。极少部分数学教师的方法是直接将教师的结论和数学公式被动的直接灌输给了学生,只有4.65%。这种方式是目前不提倡的,忽视学生主体。
3、作业布置状况分析
 
               (图6)
大部分的教师布置学生的作业前需要先让教师对学生进行检测,才能有效的正确布置学习作业和任务,占了51.16%。只有23.26%的教师可以根据教师对学生的要求以及课堂的反应,直接判断出教师和学生的学习作业开展情况,从而有效合理的布置作业。还有约25.58%的教师不能判断学生的情况布置作业;他们会采取布置配套的同步练习上的作业。

(四)运用中存在的问题调查

 
(图7)
存在问题的调查中,有34.88%认为运用模型思想教学的效果不太明显,这可能取决于小学的教学现实情况,和考核与评价的方式也有关系。有30.23%的教师认为缺乏相应得理论知识,这一部分多是教龄比较大的教师,他们距离学生时代比较遥远,对新的教育理论不是很熟悉。认为缺乏教学经验的教师占据了11.63%,主要是入职不久的新教师,没有足够的教学经历。不知道如何进行合适的模型思想教学的教师占据了23.26%,这一部分教师各个年龄段的都有。

二、访谈法调查及分析

为进一步的分析和探究其原因,我为此拟定了关于此次访谈的提纲,在实习学校选择不同性别和教龄的年级数学教师共4名,对其他教师进行了访谈。我的访谈提纲分为了三个主要维度正在进行:一个维度是加强教师对年级数学模型和模型教学思想的深入理解;二是教师教学渗透模型思想的情况;三是教师在运用模型思想时的疑难和建议。访谈对象的基本情况如下:
姓名 性别 教龄 学历
教师1 5 本科
教师2 8 本科
教师3 14 本科
教师4 17 专科
根据访谈的目的,对教师重要的回答进行了整理。

(一)教师对数学模型和模型思想的理解

教师1:在学生时代就接触过数学思想方法,知道模型思想是一种常见的思想方法,在学生做题目的过程中经常会使用到。比方说抽屉原理,植树问题等一些典型的数学问题都可以作为方法模型。学生可以套用解决这些问题的过程和模式来求解相似的实际问题。
教师2:模型思想最开始是从新的数学课标中了解的一种数学思想,课标明确指出这模型思想是一种解决数学问题的工具和方法。进一步了解后,我知道到的有数形结合、抽象和转化等的思想。这模型的思想在新课标里已经有很多相关的内容介绍。主要内容是数学的问题与我们实际生活中的问题的区别和联系,但不了解具体内容。
教师3:了解到的模型方法有假设法,转化法等。数学教科书中经常提到的模型和公式就是一种数学的模型。比如说,圆的模型和面积计算公式就是一种模型;学生在实践中了解圆的模型和面积的公式计算方法的一个转化过程,就是一个数学建模的计算过程。运用公式来解决实际问题的过程,则是应用模型。比如说,知道一种衣服的单价,和需要购买的数量,就可以求出总共需要的金额。
小结:从这3位调查教师的提问和回答,可以明显地发现他们对于数学课标和应用数学的思想多少有些一定的了解。调查的教师平时在课堂接触的多的是数形结合的思想。参与调查的教师对模型的思想多少有过一些学习和实践上的认识,其中有一位教师认识但不够深入,对于数学模型的概念比较陌生。大部分数学教师对概念的理解是,用数学公式和方法来计算解决数学问题的模型就是应用数学的模型。有些数学教师由于缺乏了对模型思想的基本认识和理解,导致自己不清楚地知道这些教师是否在数学课堂上掌握应用数学模型的思想。

(二)教师教学渗透模型思想的情况

被访谈的4名教师都对这个问题进行了回答,表示了自己教学时的渗透情况。1名教师表示在教到某些内容的时候,可能不经意会提到“数学模型”这一个词,但不会做出详细的解释。2名教师则认为小学生不能够较好的理解什么是模型;因此自己从来不会在课堂上涉及模型概念。还有1名教师则表示她在上课中,为了方便,会经常说起数学模型,但没有做进一步的解释和说明。
从上可以看出我们发现,多数的教师对模型教学思想的理解和教学态度是十分地愿意在课堂上积极地渗透的。但由于现实的条件,不利于教师能够在课上系统地对模型的思想和方法进行展开和系统地讲解。而且由于考试考核形式的原因,数学模型的基本概念和定义是不一定需要教师引导学生去理解和掌握的,因此授课教师更多的是教学生会用这个方法学习模型,能够帮助学生做出好的题目,考高分。因此忽视了教师引导学生在课堂中对模型的认识和理解,不利于教师引导学生系统的理解和学习模型知识,也不能激励教师深挖教材。

(三)教师对模型思想教学的疑难和建议

4名教师都觉得在渗透教学方面存在疑惑,不知道应该如何向学生进行教学模型思想。如何运用才能将模型思想的作用发挥的更好,这是一个教学中的难点。还有一个问题是有教师认为教学模型思想的作用不明显,不如让学生记住模型,然后套用来的快。被访谈的教师都认为需要通过更多的学习和阅读,来深入了解模型思想。认为应当先从自身着手,提高对于模型思想的理解,然后探索教材里的模型。有一位教师认为,渗透模型思想不是在一朝一夕就可以完成的,需要贯穿小学六年。

三、案例研究法及分析

教学案例

分数与除法的关系
教学过程:
(一)课前复习,导入新知
师:同学们,怎么解决这个问题呢?
(利用课件出示的情境效果图),有12块小蛋糕,将这些准备好的蛋糕分给4位同学,每人得几块?
生:12÷4=3(个)。(教师板书)
师:如果现在蛋糕只剩4块了,仍然把这些蛋糕分给4位同学,每人几块?
生:4÷4=1(个)。(教师板书)
师:解决这两个问题,为什么用除法呢?
生:将某个东西平均地被分成了几份,求其中一份是占多少,用除法计算。
师:如果我们只有1个大的蛋糕,而这个蛋糕人也依旧是要平均可以分给4个人,那么每人到底可以分得多少?要想解决这个问题该如何列式计算呢?
(二)操作探究,构建模型
1、发现除法与分数的联系
(课件出示例题2)
学生列出算式并说明其含义。
(教师适时板书1÷4=)
师:观察这个算式,商是多少,有何不同之处?(让学生充分发言)
生:这个商得不到整数。
师:得不到整数,商可以怎样表示呢?
生1:我知道1÷4=0.25,商可以用小数0.25来表示。
生2:我还知道这个算式不能整除,商也可以用分数表示。
师:说的不错!这种情况下,每人分得的蛋糕是多少个,请你用事先准备好的纸片代替蛋糕分一分,看看每人究竟能分到多大的蛋糕。
学生动手操作,之后汇报展示。
生:把蛋糕平分4块,表示这样其中一份的数,可以用表示,一个蛋糕的就是1个,所以每人得到了个蛋糕。
师:她说的对极了!在这里,将1个蛋糕平均分给4个人,求每人可以分到的蛋糕数量,这是一个除法问题。根据分数的定义我们可以知道,把1个蛋糕平均分为4块,表示其中这样一份的数,是可以用分数来表示,因此与1÷4是相等的。
(教师适时板书)
师:请你试想一下,如果取了其中的2份,是多少个?3份呢?
生:取了其中的2份就是,3份则是
师:如若是分给5、6、7人呢? 
生: 分别是
师:通过观察上面的除法算式的含义和结果,可以很容易地得出:两个正整数的商相除,如果不能直接得到一个整数的商时,我们可以用一个小数或者分数来进行表示,那具体该怎么表示呢 ?
2、探究分数与除法的关系
(课件出示例题3)
(1)学生列出算式,并说明其含义。
(教师适时板书:3÷4=)
师:同桌两人为一个学习小组,合作学习和交流;用事先为同学们准备的道具操作模拟,试着分月饼。之后在小组内交流,看还有不同的方法吗?(用课件出示讨论要求)
(2)指导教师操作指导是让学生自己通过动手练习进行教学操作,教师在学生指定的操作教室内进行巡视并及时学生进行操作指导和给其他学生进行点拨。
(3)汇报与交流:学生一边操作演示,一边进行解释说明。
师:每个小组展示一下你是怎样得到结果的?
生1:我们组是一个一个的来。先将每张圆片平均各别分为4份;每人都平均分别得到了块,一共分三次,也就是一共分到了块。
生2:我们组是将3个纸片一起叠好放在一起然后进行平均分的,可以清楚地清晰看得出每个人都已经得到了块的蛋糕。
师:大家可真了不起,虽然用了不同的方法,但却得到了一模一样的结果。
(教师利用多媒体动画展示了不同的方法)
师:由此我们不难发现“3块月饼的与1块月饼的是相等的,都是块”。
(教师补充完整板书内容:3÷4=)
(4)点拨提炼
师:通过刚才的操作以及演示,你能说一说你对于的理解吗?
学生交流互相讨论,教师及时地对其给予了补充和说明,完善对两种方法的理解。
(5)构建模型
师:你是想把( )块月饼平均分给(  )的两个人,每个人能分到(  )块月饼的( ),是(  )块月饼。
(教师要求学生先说一说算式和结果,然后进行验证)
师:刚才大家都是利用学具操作的,让如果不动手,通过刚才的探究和分析,你能不能通过计算得出7块月饼分给了9个人,每一个人分到的月饼是多少块?说一说你的想法?
(全班集体交流)
师:当两个正整数相除得到的商不是一个整数的时候,商是可以用分数的形式表示出来的。你能够发现除法与分数之间存在的联系吗?
生: 被除数÷除数=;a÷b=  (b≠0)
(6)升华理解
师:请根据你对分数与除法的理解,完成下表
(利用课件呈现表格)
全班集体交流,之后教师进行概括总结。
师: 除法是一种运算的形式,这种运算的结果是商,是可以用分数进行表示。分数本身也是可以看作除法,分子能够看成是被除数。分母也可以直接作为一种被除数,分数线也可以用来充当“÷”。
(三)巩固提升
试一试和练一练
学生独立完成书本上的题目,然后由教师进行讲解,集体订正。
(四)全课总结
谈话:通过这一节课的例题讲解和学习,你有什么收获和疑问?

案例分析

在广义上,一切的数学公式概念,方程以及相对应的与运算代数系统等相关的数学知识都可以统称为数学模型,因此分数与除法的关系自然也是一个数学的模型。案例中,这位数学教师的课堂教学,把大部分的精力都集中在课堂上用于学生创设一个平等的、和谐的学习生活环境,以有利于让教师和学生完成自主、合作的学习。教师在教学中对学生如何自主的建模和有意义的建模展开了了相关的尝试与探索,取得了较好的教学效果。
课前回顾环节,复习整数除法,激活学生认知结构中已经有的知识经验,为学习新的知识给予了学习支架,渗透合情推理的思想方法。在此基础上,顺势提出“4个同学来平均分1个蛋糕”的问题,让学生出现了认知冲突,为分数与除法模型的构建提供需求与基础。
新授环节当中,教师引导学生通过“平均分蛋糕”的方式进入情境,在平均分数计算的方法上从平均分数除法的计算意义角度出发对结果进行了讲解,计算方法和结果的具体呈现从平均分数的计算意义的角度进行解释。这使得学生对于分数表示商计算方法和意义已经有了一个初步的认识。为重点的落实与难点、的突破做了基础,从而初步感受分数与除法之间是有关联的,使得模型的构建拥有了模型准备。
在教学例题3时,学生合作汇报,体验发现过程。两种不同的分法都是强调了平均分的基本概念,把握住了数学的重要性和本质;从而很好地展现分数的性质,并且在基础上扩充了一些分数的含义和模型,让更多的学生直观地感受到了模型的思想。因此学生在过程中可以直观地感受到分数的基本含义和模型有两种,一种的含义是从对分数的加法意义的角度上来理解具体的分数;第二种是从对分数除法意义的模型角度上来理解,也就是用分数来表示具体的数量。整个教学的过程中,教师是借助数学问题进行解决,让更多的学生对于知识的重要性进行了升华理解,并且由此形成了引出的一系列的数学问题。教师指导学生合作与讨论,历经了知识的积累形成整个过程。由此,方便高效的帮助学生建立“分数与除法的关系”的数学模型。
巩固训练是必要的内容,让学生充分地能够感受和理解两个正整数相除的时候,除不尽,还可以用分数的形式对商进行正确地的表示。反过来,分数也同样是你可以把它用来看作两个正整数的相除,是对分数学理论和分数模型的进一步研究巩固与推广应用。学生在练习中感受数学的学习与实用价值。
这第一节课的教学是围绕着“分蛋糕、月饼”的生活情境创设而展开的。第一节课教师将生活的情境和对问题探究的情境相结合,贯穿于整节课。借助了直观的工具和灵活的手段,以学生感知,发现,归纳和分析等应用方法为教学主线,教师指导学生在小组合作参与学习的过程中同时进行了观察比较和分析发现,之后深入关注其中的分数与除法的关系。最终帮助学生在头脑中形成数学模型。
直观演示这种方法是学生认识和理解分数与除法的关系必需的一种教学的方法和手段。学生动手进行操作,然后将抽象的逻辑思维知识转化为具体的直观演示和思考,进而有助于开展课堂教学活动并顺利的解释问题,解决本节课的重难点教学内容。在问题解决的过程中,教师给予了学生活动的时间和机会进行操作和思考。这使学生经历了直观动手和具体思考的两个环节,增加了对于分数理解。之后,不断地利用实物,从具体动手上升到抽象,提升了学生的逻辑思维的能力。在之后的课堂中,教师通过一个个简单的问题,启发思考,从而充分发现其中的基本规律,进一步牢牢抓住了数学的规律和本质,最终巩固和建立这个模型。这位老师在巩固和提升环节中设计了两道数学练习题,从两个角度充分体现了这个过程中数学模型的规律和本质。这位教师引导了学生通过灵活运用新建立的一系列数学模型来分析和解释其中的现象,以有效解决其中的问题,使得学生学会从数学的角度思考问题。这对于促进学生思维的状况,提高数学的运用能力是有大有好处的。
总而言之,整节课的教学设计过程非常严谨,具有鲜明的知识层次,符合了逻辑。整节课教师很注重学生的感受,充分发挥了学生的创造性和主体作用,最终发现数学知识并且成功地建立了一个有关分数的模型。同时学生充分感受到了模型对于数学思想的有效运用,提高了对数学的素养,也很好地实现了课堂教学的目标。

四、存在问题及成因分析

1、教师对于模型思想的理解有所欠缺
   根据新课程的理念,教师是学生学习的组织者与合作者。若是希望学生认识模型思想,首先教师需要对模型思想有深刻的见解。从问卷和访谈中不难发现,不少教师对于模型思想缺少学习,没有很好的理解其内涵。模型思想提出的时间不长,很多教龄偏大的教师没有在学生时代接触过这个理思想;然而她们又有着丰富的教学经验,早已经形成了适用于自己的一套教学方案甚至是观念、理论。这对于她们来说,会在接受模型思想上产生一些阻碍。还有一些教师,对于课标上的概念没有理解,甚至只是听人转述的模型思想,并没有真正的研读过这些内容,因此难免会有对模型思想的理解存在偏差。
2、学生和教师的精力有限
   教师一天的时间是有限的,能够用于备课与梳理教材的时间更是少之又少。因而教师难以对书本中的模型进行整理和探索。小学课堂的时间仅有40分钟,小学生注意力高度集中的时间也比较短;教师既要在课堂时间内完成新课的教学,又要渗透思想教育,这就又增加了难度。同时教师对于作业的布置与反馈批改也并不容易。小学生一天的学习课程和任务也是比较的紧张,其自身的自控能力和理解能力也相对的较弱,因此教师在教学上渗透模型思想的效果不是特别明显。例如分数意义教学中,如果渗透模型教学,学生通过操作理解为什么1÷3=,然后建立起分数意义的模型,最后在训练中应用这一模型。然而有的教师采用死记硬背,直接让学生记住1÷3=,是因为被除数÷除数=这一个结论,之后依样画葫芦,求出1÷5和2÷3的结果。目前的考试评价方式不会评价学生是如何掌握模型思想,难以判断学生的思维情况,因此不少教师和学生不愿意采用模型思想教学。
3、缺乏教学模型思想的经验
   许多年轻教师正处于探索的阶段,没有形成自己的教学风格,因此会缺乏相关内容的教学经验。还有一部分教师是不清楚具体该如何操作,怎样开展模型思想的教学;许多教师对这一块内容不是很熟悉,因此缺乏具体的实施案例,没有详细的模式和典范可以参照借用。从而教学效果可能不会很好,可能会回到问题2,最终形成恶性循环。

第四章:对策与建议

一、了解学情,选择教法

了解小学生的认知能力、逻辑思维发展的具体情况;明确数学建模的基本出发点,采取适当的模型教学方法。小学生的思维认知发展的过程,是需要经历从具体的形象思维逐渐地转变为了抽象逻辑思维的过程。针对不同阶段年级的小学生,教师应适当地采用不同的模型教学方法。一二年级学生的抽象逻辑能力很差,思维发展状况仍旧是正处于具体抽象运算的阶段,他们难以完全听懂抽象的知识和基本概念。因此教师首先应当向学生展示更多的具体抽象事物,采用了几何直观等教学手段,让内容更形象,学生充分感受到抽象的数学概念和模型的基本特点和概念如何运用,并通过适量的理论练习与实践加以巩固,帮助更多的学生进一步地建立知识的模型。三四年级的小学生仍旧是形象思维为主,但是有初步的本质概括能力,逻辑思维已经开始获得发展了。教师在引导学生进行概括的时候,还是要以模拟实物等直观的教学方式来辅助理解为主。但是可以适当的渗透一些比较容易被学生理解的原理和模型;让学生在教师的帮助和引导下,尝试更好的理解简单的基本内容和原理,并且适当的培养和提高学生对抽象逻辑知识的理解和抽象逻辑概括的能力。五六年级的时候学生的对抽象逻辑思维的能力已经基本获得了初步的培养和发展,能够进行一定的知识梳理,拥有了建立数学模型的能力。因此学生可以尝试着不借助教师提供的支架,独立地去探索一些新的概念,理解新的内容。
在低年级,教师应指导学生认识数字并进行运算,完成几何图形与立体图形的抽象与理解的过程;并且培养学生根据实际的现象,发现问题,以及收集和整理出简单的数据的能力。一二年级的教学中,教师需要让学生注意模型的准备,有意识地去积累丰富的实物和模型,为将来学习新的数学模型做好基础。在中年级里,教师要指导学生通过观察和概括分析特定的数学问题与实际情况,引导帮助学生正确地分析理解隐藏数学问题背后的数学知识;教学时,教师要让学生亲身经历数学知识被发现的过程,体验数学模型被理解和建立的过程;逐渐将生活中数学问题和其中的知识抽象出来,形成更为准确的数学表达方式。在高年级,学生抽象逻辑思维已经在数学中得到了很好的培养和发展,拥有了进行数学建模的逻辑思维能力。在课堂上,教师应结合相关的数学模型内容进行教学,指导学生如何综合利用相关的函数模型,优化思想,统计运算思想等数学知识,解决一些生活实际的问题。教师可以尝试让学生自主地理解和学习一些书本上地数学知识,之后再根据学生自主理解和掌握的情况进行一些有重点的知识讲解。或者是教师给学生提供一个清晰的思路或者是指出角度,之后放手让学生合作或是独立思考,自己通过分析来创造性地理解和建立数学的模型,发挥他们对学习的兴趣和主动性; 借此引导帮助学生通过自己对数学问题的观察和概括分析来理解和建立数学模型。

二、渗透思想,重现过程

学生在教材中学习基本模型总的来说有三种方法:第一种情况是基本模型的学习,也可以认为是学习书本上的例题之类的新的模型。这个基本模型教学方式不唯一,可能是一个探索发现的学习过程,也可能是一个被动接受基本模型的学习过程。第二种情况则是学生利用已经学会的基本模型,去认识和解决各种不同的现实情境下的问题。第三种就是如何利用模型的学习方式,去认识更多的内容,扩大自身的模型储备, 学习建模的方式和过程。
学生认识知识的过程也可以说是经历了一个类似于数学家用数学和公式建模的再重新创造的数学模型过程。我们现实生活中已有的这些数学模型基本上都是由前人把发现的数学规律应用到各个领域的里,经历长期的研究和改进过程之后创造出来的。这个过程使得现在的学生能够充分享受到当下已有的研究成果。根据新课程所说的学生主体的理念,学生的每次学习和探索过程都可以被认为是一个重新探索式的学习过程。也就是说某一些数学模型的成果是完全可以由学生自己进行再发现,可以把这些重要知识和成果再来创造一遍。比方说,在比较圆柱和圆锥的关系时,可以让学生用两个底面大小一样、高度相等的无盖圆柱和无盖圆锥,用圆锥装满沙子倒入圆柱,看需要几次才能装满。学生从这个操作过程,可以发现圆锥的体积是圆柱的,进而得出V=Πr²h的公式。这也是一个重新探索创造、重新建模的过程。
在现实生活利用数学模型解决问题,基本上是根据对于现实情境的观察和分析,建模并使用。这样的数学模型都是已经证实存在的并且都是被经过科学家反复推敲和研究验证的。况且如果不是已经存在发明,直接丢给学生,让其自己进行再一次创造也几乎是不可行的。换句话来说,有些数学模型由于其难度过大或者是不方便用于科学探索,因此不必刻意让其他学生观察和感受再一次创造。比如说,两个数学变量之间成反比例的关系;如果这个模型,教师只是让学生通过自己动手进行实践和操作的方法去发现运动的规律,学生仅凭观察和计算,是很大概率发现不了这两个变量之间的内在关联。但是如果教师能够给出两个变量数据之间变化的对应表格,那么还是有可能让学生发现一些问题和规律的。又比方说,s=vt这个公式模型。利用这个基本的模型可以很好地解决有关速度的问题。但是这个基本模型过于抽象,不好理解,可操作性不强,因而也不是很适合教师和学生在实践中进行自主探索和再进行创造。所以教师只是需要通过对现实的模拟或者是动画的模拟,从而能够使得课上学生在头脑中能够很好地理解这个基本模型的重要性和意义即可,不再需要追求更多的效果。

三、增强意识,锻炼思维

在课堂教学中,教师一定要重视培养学生的数学模型建构和思维的形成。培养和发展学生的分析实际问题和对数学模型的思维能力,同时应该需要寻找方式陶冶兴趣,而不是一味的让学生面对枯燥的数字和公式。只有学生主动愿意去吸收知识,在头脑中形成知识网络并且构建模式;学生才能在学习时感受到轻松,进而主动配合教师,提升教学质量。教师帮助学生全面体会数学模型的作用和应用,从而产生构建数学模型的需求[],促进学生主动进行数学建模。教师应注重培养引导学生从实际社会生活的数学现象中探索提取和解决数学的问题,并且抽象和分析总结数学理论和模型的综合能力,鼓励教师引导学生从不同的数学角度深入思考、分析数学问题和应用数学的概念和模型。教学渗透的过程可以从多个方面上来培养小学生的能力和思维。比如说,对一些知识技巧的掌握,对一些基本的思想和实际运用方法的拓展,以及对一些间接经验的运用和积累,或者可以培养学生的创造力和数学素养。此外,引导学生通过不断观察,分析,抽象,总结,选择,判断等数学活动,改变以往的学习方式;不仅要求出题目结果,还要思考结果的意义。
培养学生的数学建模意识,用数学的知识和眼光去重新审视、探究和解决实际数学问题的一般数学规律,寻找事物之间的空间关系和事物数量的关系,依循数理逻辑、运用数学的基本理论思维和数学方法对事物进行了分析、推理。数学教师应鼓励学生观察、理解和掌握已有的数学模型,并尽量利用已有的数学模型解决问题。在遇到新问题时,教师应引导学生尝试建立解决问题的模式。从学生的能力和生活经验来看,最好是在一定的原有模式基础上建立模式,然后根据实际问题进行创新。用头脑中已有的图式,进行知识迁移,帮助学生发现知识之间的联系,同时也可以降低学生理解新内容的难度,更好的把握数学知识的关键。例如,可以将数字和代数中的各种代数公式和方程式,几何理论中的数学图形,统计理论中的数学图表以及在数学的综合与理论和实践的活动中需要表达的问题的数量和关系等这些内容与特定的实际数学问题结合起来,以解释其产生的可能性和原因,学会用所建立的数学和模型的思想和眼光来研究和看待实际的问题。
渗透模型思想不是短时间内就可以完成的,这是一项需要小学六年持之以恒的努力。一个难以理解的数学模型,是在高年级正式出现在教科书上;但这一模型的相关知识,学生早在之前就已经有过接触,那教师在之前的教学中就可以给学生渗透和拓展内容;从而让学生获得更好的模型准备,也可以减少正式学习时学生无法理解抽象概念的情况。而且在短时间内进行大量模型准备,学生的效果也不会太好,甚至会影响数学模型的学习,远不及长时间的渗透和准备。比如说,分数乘法和除法的学习。学生在二年级学习的乘法和除法是进行乘除法运算的基础[];三年级初步认识分数,初步知道了分数的含义;四年级时进一步认识了分数的意义,知道了分数与除法算式之间的关联;再到后来的通分和约分,都为分数乘法和除法的计算铺平了道路;最后在六年级学习这块内容时提供了模型的帮助。

四、实践训练,拓展模型

在备课与分析教材的过程中,教师要注意发掘教材中的数学模型,并且选择合适的展现方式,然后在教学活动中渗透这个模型,引导和帮助学生建构数学模型。教学活动中,培养学生主动探究、发现实际问题、解决实际问题的思维能力;鼓励学生创新,发现知识中的联系并建立数学模型。在日常的课堂教学中,教师应当做到及时的提示和观察学生的各种课堂活动和反应,及时地了解学生的语言理解和学习情况。教师要适时的对学生进行课堂提问,让学生反馈自己的学习进度,从而更好的帮助学生掌握新的知识,建立与之相关的数学模型。
在作业和练习中,让学生灵活应用已经拥有的数学知识,对问题进行了空间与数量分析,经过抽象概括的过程,建立其模型,进而使用。过去的应用题通常与综合运算相融合,连续两问或以上的出题形式,组成了比较变式等内容,这是非常有价值的经验,是引导学生快速形成正确的知识和思维结构的重要理论基础。但是,这种思维结构往往只是相对线性的。如果以数学模型为核心进行问题解决的教学,对单个问题进行发散,形成问题网络,可以构成一个网状的结构,从而可以最大程度上的整合丰富多样的问题。这也是一个可以考虑的方法。
将植树问题的教学作为一个简单的例子,教师们首先可以把一个封闭的圆圈植树的问题模型视作一个核心的模型,再根据这个模型的内容,拓展出其他的情况下的模型。该模型中,点和间隔一一对应的关系,因此模型公式:长度÷间隔=棵树。之后教师可以根据实际的情况进行推导,得出其他的情况下的模型。再比如说,路程=速度×时间,用符号可以表示为s=vt。在这里,s=vt及其基本变式v=s÷t,t=s÷v三者构成了路程问题的基本思维结构(如下图)。这三个公式分别向路程、速度、时间三个方向进行变化,各自改变一个变量或者两个变量就会产生很多新的变式。这些新的公式基本囊括了小学数学有关时间,速度,路程的各种关系式。这样一来,在今后解决所有相关的问题时,就不必去过多的关注多样繁杂的情境和交通方式,只需要把思维和注意力主要得集中在数学模型上。
 
S=(v±a)t
V=s÷(t±a)    S=vt     t=s÷(v±a)
   V=(s±a)÷t     V=s÷t      t=s÷v       =()÷v
=()÷t            =(s±a÷v)
                                      (图8)
 

总结

首先是模型思想的定义的界定。数学模型是指从现实的生活里发现数学问题,然后用数学语言概括出这个问题;抽象出这一个问题的是数学模型,之后用数学的基础知识对问题进行了求解,最终得到与这个问题相关的公式或者模型。而这个模型通常也是这类问题的求解的模式。
其次是深入分析了当代的这一项研究的现状。明确主要是关于"模型思想教学"的作用的研究,策略的研究、过程的研究和存在问题的研究,然后对现有评价进行总结。而本次论文创新之处在于把已有的研究成果和所做的培养有序思维的调查研究相结合。
接着运用调查方法,分析培养模型思想的意义、现状;再通过对任课教师的访谈和现场观察,从学生的调查结果深入分析了模型教学思想在实际运用中普遍存在的一些主要问题和其原因。主要问题有两点一是教师和学生对模型教学思想的认识和理解不够透彻,缺乏对模型教学思想的实践教学的经验,缺乏引导学生培养对模型教学思想的基本意识,对运用数学模型的方法不了解。
最后从了解学情,选择教法;渗透思想,重现过程;增强意识,锻炼思维;实践训练,拓展模型;这四个方面来提出策略,从而改善模型思想在小学的运用情况。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

参考文献

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